Logique du premier ordre ou Calcul des prédicats,
ou Calcul des relations ou Logique quantificationnelle,
   
         
         
But        
    Il s'agit d'étudier la façon dont on doit écrire, parler, raisonner avec les expressions du langage mathématique..  
source W,
         
Définitions,        
         
1er ordre ?
   On parle de logique du premier ordre par opposition aux logiques d'ordre supérieur,( où l'on peut aussi quantifier sur les prédicats ou les fonctions en plus des variables).    
         
Logique du
premier ordre
   C'est une formalisation du langage mathématique proposée par Gottlob FREGE au début du XXeme siècle,   FREGE.G
         
    La logique du 1er ordre comprend deux parties :

  
    1- La syntaxe qui définit le vocabulaire symbolique de base ainsi que les règle permettant de définir des énoncés complexes.    
    Sur le plan de la syntaxe les langages du premier ordre opposent deux grandes classes linguistiques :
- les constituants identifiant ou nommant les éléments du domaine : variables, symboles de constantes, termes,
- Les constituants exprimant des propriétés ou des relations entres ces éléments : prédicats et formules.		  
         
    2- La sémantique interprète ces énoncés comme exprimant des relations entre les éléments d'un domaine, également appelé modèle.  
Relation
ou Modèle,
         
Le prédicat
   - Le prédicat est ce qu'on dit du sujet.
- Dans une phrase simple, le prédicat est le(s) terme(s) qui vient après le sujet.
- C'est ce qui est prédiqué au Sujet ...
- La prédication concernes de multiples aspects : les catégories de personne, de nombre, de genre, (pour les langues flexionnelles ou langues agglutinantes), une action du sujet, une action subie par le sujet, ce qui arrive au sujet, l'existence d'un phénomène, le fait de posséder quelque chose ou quelqu'un, l'état subjectif du sujet, une identification, l'appartenance à une catégorie, une qualification d'état, une quantification, 		 
Prédicat,
W,
         
    Le prédicat est l'élément essentiel de la phrase, phrase qui peut se priver de sujet ! Il pleut !    
    Un prédicat est une expression linguistique qui peut être reliée à un ou plusieurs éléments du domaine pour former une phrase.    
         
   

En logique mathématique, lorsqu'un prédicat est lié à une expression, on dit qu'il exprime une propriété (telle que la propriété d'être une planète), et lorsqu'il est lié à deux ou plusieurs expressions, on dit qu'il exprime une relation (telle que la relation d'être plus grand). Ainsi on peut raisonner sur des énoncés comme

« Tout x est gentil » et « Il existe un x tel que pour tout y , x est ami avec y ,
ce qui exprimé symboliquement se traduit par la formule :

∀ x   g e n t i l ( x ) et ∃ x ∀ y   a m i s ( x , y )
  Propriété, ou
Relation,
    Il convient de noter cependant que la logique du premier ordre ne contient aucune relation spécifique (comme telle relation d'ordre, d'inclusion ou d'égalité) ; en fait,
il ne s'agit que d'étudier la façon dont on doit parler et raisonner avec les expressions du langage mathématique. 		   
         
   

Les traits caractéristiques de la logique du premier ordre sont :

  • l'utilisation de variables comme x, y , etc. pour dénoter des éléments du domaine d'interprétation ; (v, w, x, y, z sont utilisées comme variables; les constantes seront : a, b, c, ....)
  • l'utilisation de prédicats (ou relations) sur les éléments ;
  • l'utilisation de connecteurs logiques (et, ou, implique etc.) ;
  • l'utilisation de deux quantificateurs,
    l'un universel (« Quel que soit », « pour tout » noté ∀)
    et l'autre existentiel (« il existe au moins un … tel que », noté ∃).